نوع مقاله : مقاله پژوهشی
نویسندگان
دانشجوی کارشناس ارشد مهندسی عمران، گرایش سازه، دانشگاه صنعتی سهند تبریز
چکیده
کلیدواژه‌ها
عنوان مقاله [English]
نویسندگان [English]
This paper studies seismic evaluation of unsymmetric-plan tall reinforced concrete (RC) buildings with a dual wall-frame system, in which the effect of higher modes in plan and height is important. In this paper, one unsymmetric-plane reinforced concrete building of 18-story height was studied. Shear walls were replaced with an equivalent beam-column and their nonlinear behavior was considered with the interaction point hinges (PMM) and fiber elements. The seismic responses of the buildings were computed by nonlinear response history analysis (NL-RHA), advanced pushover analyses including the modal pushover analysis (MPA), the consecutive modal pushover (CMP), the upper bound pushover analysis (UB) and the extended N2 method (EN2) and a conventional pushover analysis with fundamental mode force distribution considering the two nonlinear behavior for the shear walls mentioned above. The results show that floor displacements are slightly influenced by the shear wall nonlinear model in comparison with the story drifts and plastic hinge rotations. Errors resulting from interaction point hinge (PMM) are almost larger than those from the fiber element. Also, the results indicate that the advanced pushover analyses can evaluate the seismic demands accurately in unsymmetric-plane tall buildings; The EN2 method gives a larger error compared with the other advanced methods, especially in estimating plastic hinge rotations.
کلیدواژه‌ها [English]
بررسی رفتار لرزهای ساختمانهای بتن مسلح بلند نامتقارن در پلان با سیستم دوگانه قاب-دیوار
محمد حبیبی
دانشجوی کارشناس ارشد مهندسی عمران، گرایش سازه، دانشگاه صنعتی سهند تبریز
مهدی پورشاء *
استادیار دانشکده مهندسی عمران، دانشگاه صنعتی سهند تبریز
چکیده
این مقاله به ارزیابی لرزهای ساختمانهای بتن مسلح بلند نامتقارن در پلان با سیستم دوگانه قاب–دیوار میپردازد و تأثیر نوع مدل رفتار غیرخطی دیوار برشی را بر پاسخهای لرزهای غیرخطی مورد بررسی قرار میدهد. در این مطالعه، یک ساختمان 18 طبقه بتن مسلح دارای دیوار برشی و نامتقارن درپلان بهصورت سیستم‌هایی با درجات درگیری متفاوت بین مودهای انتقالی و پیچشی (سه سیستم نامنظم) درنظر گرفته شده است؛ در این سازهها، دیوارهای برشی بهصورت المان قاب معادل (تیر-ستون) مدل‌سازی شده و رفتار غیر خطی آنها یک بار توسط مفصل اندرکنشی (PMM) و بار دیگر توسط المان فایبر(Fiber) درنظر گرفته شده است. در مدل فایبر، برای منحنی تنش- کرنش غیرخطی بتن و فولاد، به‌ترتیب از منحنیهای رفتاری Mander و Park استفاده شده است. پاسخ های لرزهای سیستمهای نامنظم با استفاده از تحلیل تاریخچه زمانی غیر خطی و همچنین روشهای پوشآور ارتقاء یافته شامل تحلیل پوش آور مودال (MPA)، تحلیل پوش آورمودال متوالی (CMP) ، N2 توسعه یافته (EN2) و تحلیل پوشآور متعارف با الگوی بارگذاری مود غالب با در نظرگیری دو مدل رفتار غیر خطی یاد شده برای دیوار برشی مورد بررسی قرارگرفتهاند. نتایج نشان می دهند که جابجایی طبقات در مقایسه با دورانهای مفاصل پلاستیک و جابجایی نسبی طبقات دارای تفاوت کمتری در این دو مدل رفتاری میباشد. همچنین خطای روشهای پوشآور یاد شده در براورد پاسخهای لرزهای، معمولاً در مدل مفصل اندرکنشی بیشتر از المان فایبر است.
واژگان کلیدی: ساختمانهای بتن مسلح، سیستم دوگانه قاب-دیوار، المان فایبر(Fiber)، مفصلاندرکنشی (PMM)، سیستمهای نامتقارن در پلان، تحلیل پوشآور ارتقاء یافته.
امروزه نگرشهای نوین طراحی سازهها مورد توجه محققین قرار گرفته است. در این بین، طراحی بر اساس عملکرد از آنجا که با فلسفه کنترل خسارت انجام می پذیرد، جایگاه ویژه ای را کسب نموده است. محققان به این نتیجه رسیدهاند که جابجاییها و تغییر شکلها، بهتر و مؤثرتر از نیروها بیانگر حالات حدی در کنترل خسارت می باشند]1[. بر این اساس، روش نوین طراحی بر اساس تغییر مکان مطرح شد که این روش در آییننامهها و دستورالعمل‌ها از جمله در ATC-40 ]2[ و FEMA-356 ]3[ مورد توجه قرار گرفته است. در طراحی بر اساس عملکرد، روش آنالیز استاتیکی غیرخطی (پوشآور) نقش مهمی را ایفا میکند؛ این روش یک ابزار عمومی برای ارزیابی عملکرد لرزهای سازههای موجود و طراحی سازههای جدید می باشد. روش آنالیز پوشآور متعارف برای ساختمانهای کوتاه مرتبه مناسب بوده و در ساختمانهای بلند مرتبه و نامتقارن در پلان به نتایج دور از واقعیت منجر میگردد که علت آن، تأثیر مودهای ارتعاشی بالاتر و اثر مودهای پیچشی بر رفتار سازه در ساختمانهای بلند و نامتقارن در پلان میباشد که این امر در الگوهای بارگذاری در تحلیل پوشآور متعارف نادیده گرفته میشود. به منظور بر طرف نمودن این محدودیت و در نظرگیری اثر مودهای بالاتر، روشهای پوشآور ارتقاء یافتهای نظیر آنالیز پوش آور مودال (MPA) ]4[، آنالیز پوش آور مودال متوالی (CMP) ]5[، آنالیز پوشآور کران بالا(Upper Bound)]6[ و آنالیز پوشآور ]EN27[ توسعه داده شدند. در این راستا محقیقن تحقیقات خود را بیشتر بر روی سازههای فولادی انجام دادند. چوپرا و گوئل]8[در سال 2004 روش بار افزون مودال(MPA) و پورشاء و همکاران]9[ در سال 2011 روش بارافزون مودال متوالی(CMP) را برای برآورد نیازهای لرزهای ساختمانهای فولادی نامتقارن در پلان توسعه دادند. در سال 2011 فایفر و کریسلین ]10[ روش N2 را برای ساختمانهای نامتقارن در پلان توسعه دادند. در سال 2007 لین و سای]11[ روش جدیدی را برای درنظر گرفتن اندرکنش بین جابجایی انتقالی و دورانهای پیچشی در ساختمانهای نامتقارن ارائه دادند. در خصوص تحقیقات انجام شده در مورد ساختمانهای بتن مسلح می توان به تحقیق Inel و Ozmen ]12[ در سال 2006 اشاره کرد که در آن تأثیر خصوصیات مفصل پیش فرض نرم افزار و مفصل متمرکز تعریف شده توسط کاربر برروی پاسخ ساختمانهای با ارتفاع کم و متوسط (4 و 7 طبقه) مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین در سال 2013، Yon و Calayir ]13[ به بررسی تأثیر مدلهای مختلف مفصل یعنی مفصل متمرکز و رشتهای بر روی منحنی ظرفیت سازههای مسطح پرداختند. همچنین در سال 88، کفایی و خوشنودیان ]14[ تحلیل های پوش آور کلاسیک و تحلیلهای پوشآور بار افزون ارتقاء یافته CMP و MPA را در برآورد نیازهای لرزهای ساختمانهای بتن مسلح مسطح با دیوار برشی مورد بررسی قرار داداند. با توجه به اینکه در این خصوص، تحقیقات اندکی بر روی ساختمانهای بتن مسلح نا متقارن دارای دیوار برشی انجام شده است و همچنین تحلیلهای پوشآور ارتقاء یافته به این گونه سازهها اعمال نشده است، این مقاله رفتار این ساختمانها را با در نظرگیری مدلهای غیرخطی مختلف برای دیوار برشی شامل مفصل پلاستیک متمرکز و المان فایبر با‌استفاده از تحلیلهای تاریخچه زمانی غیرخطی(NL-RHA)، تحلیل بار افزون مودال(MPA)، تحلیل با افزون مودال متوالی(CMP)، تحلیل با افزون EN2 و تحلیل بارافزون با استفاده از مود غالب سازه مورد بررسی قرار میدهد. این امر در تحقیقات قبلی برای ساختمانهای بتن مسلح بلند با سیستم دوگانه قاب-دیوار که در پلان نامتقارن باشند، تاکنون مورد توجه قرار نگرفته است.
2- انواع ساختمانهای نا متقارن در پلان
ساختمانهای نا متقارن در پلان را میتوان بر حسب درجات درگیری بین حرکات جانبی و پیچشی در سه نوع مختلف طبقه بندی کرد. این طبقه‌بندی مبتنی بر نسبت پریود میباشد که به صورت نسبت بین پریود انتقالی و پریود پیچشی تعریف میشود. سه نوع سیستم نامتقارن در پلان شامل سیستمهای سخت از نظر پیچش (Torsionally-Stiff)، شبه سخت از نظر پیچش (Tosionally-Similarly-Stiff) و نرم از نظر پیچش (Torsionally Flexible) میباشند]8[. سیستمهای یادشده، بترتیب با TS، TSS و TF نشان داده می شوند. در سیستم TS، جابجاییهای جانبی حرکت غالب در مود اول و دورآن‌های پیچشی حرکت غالب در مود دوم میباشد. درحالی‌که در سیستم TF، دورانهای پیچشی حرکت غالب در مود اول و جابجایی جانبی حرکت غالب در مود دوم خواهد بود. در دو سیستم بالا درگیری ضعیفی بین جابجاییهای جانبی و دورآن‌های پیچشی وجود دارد. در سیستم TSS، درگیری قوی بین حرکات جانبی و پیچشی وجود دارد که سبب نزدیکی پریودهای مودی در این سیستم میشود. در نتیجه میتوان ساختمانهای TS را با نسبت پریود بزرگ‌تر از یک و ساختمانهای TF را با نسبت پریود کوچک‌تر از یک تشخیص داد. نسبت پریود برای ساختمانهای TSS در مقایسه با دو سیستم دیگر به یک نزدیک تر است ]8[.
3- تحلیلهای بارافزون ارتقاء یافته
3-1- تحلیل بار افزون مودال(MPA): در این روش الگوی بار جانبی متناسب با اشکال مودی بهصورت جداگانه تا رسیدن به تغییر مکان هدف مربوط به آن مود به سازه اعمال میگردد. سپس پاسخهای لرزهای مربوط به هر مود بهصورت مجزا استخراج شده و در نهایت با استفاده از قوانین ترکیب مودال، پاسخ نهایی سازه به‌دست میآید ]4و8[.
3-2- تحلیل بارافزون مودال متوالی(CMP): در این روش، پاسخهای لرزهای از حداکثر پاسخهای حاصل از آنالیزهای بارافزون یک مرحلهای و چند مرحلهای بهرهجویی میگردد. در آنالیز چندمرحلهای، تحلیل های بارافزون بهصورت متوالی انجام می شود؛ بدین صورت که در آنالیزهای چندمرحلهای شرایط نیرویی و تغییرشکل در انتهای یک مرحله، شرایط اولیه در مرحله بعدی میباشد] 5و9[.
3-3- تحلیل بارافزون (EN2): در این روش، ابتدا یک تحلیل بارافزون با استفاده از مود اول سازه انجام میگیرد. سپس برای اعمال اثرات مودهای بالاتر در پلان و ارتفاع از یک تحلیل الاستیک طیفی استفاده می شود. با استفاده از نتایج حاصل از این دو تحلیل، ضرایب تصحیح در ارتفاع و پلان اسخراج شده و به نتایج حاصل از تحلیل بارافزون تحت مود اول اعمال میگردد.
4- مدل‌سازی ساختمان بتن مسلح مورد مطالعه
به منظور ارزیابی ساختمانهای بتن مسلح نامتقارن در پلان با دیوار برشی، یک ساختمان 18 طبقه درنظر گرفته شده است. در شکل 1 پلان متقارن این ساختمان نشان داده شده است. پلان این ساختمان در هر دو جهت متقارن بوده و دارای سه دهانه 5 متری میباشد. بار کف به صورت یک طرفه توسط سیستم تیرچه‌بلوک به تیرهای در جهت Y منتقل میشود. ارتفاع سازهای تمام طبقات 2/3 متر در نظر گرفته شده است. مقدارضریب پواسون برای بتن در نظر گرفته شده است. سایر ویژگیها در جدول 1 ارائه شده است.
در این پژوهش آیین‌نامه‌های زیر جهت تحلیل و طراحی ساختمانها مورد استفاده قرار گرفتهاند:
1- بارگذاری ثقلی براساس " مقررات ملی ساختمان – مبحث ششم: بارهای وارد بر ساختمان"]15[
2- تحلیل لرزهای بر اساس"استاندارد 2800، ویرایش سوم"]16[
3- طراحی قاب‌ها و دیوارهای بتنی بر اساس "آیین‌نامة ACI"]17[
بارهای ثقلی وارد بر ساختمان شامل بارهای مرده و زنده میباشد. مقدار بارهای مرده بر اساس جزئیات اجرایی سقف‌ها و دیوارهای جداکننده برابر 700 و بارهای زنده بر اساس کاربری ساختمان که مسکونی میباشد برابر 200 در نظر گرفته شده است. سیستم بار بر جانبی این دو ساختمان در هر دو جهت، قاب خمشی بتنی ویژه با دیوار برشی بتن‌آرمه ویژه میباشد که ضریب رفتار پیشنهادی (R) در استاندارد 2800 برای این نوع سازه 11 میباشد. همچنین نسبت شتاب مبنای طرح (A) با فرض قرارگیری ساختمان در منطقه با خطر نسبی خیلی زیاد برابر 35/0 در نظر گرفته شده است. خاک منطقه که ساختمان بر روی آن ساخته میشود، نوع سه استاندارد 2800 بوده که معادل نوع C آیین‌نامة NEHRP می باشد. لازم به توضیح است که تمام ضوابط آیین‌نامة 2800 در خصوص کنترل قاب‌های خمشی برای 25% نیروی جانبی در سیستمهای دوگانه، ضابطه ستون قوی-تیر ضعیف، برش چشمه اتصال و زلزله سطح بهره‌برداری برای ساختمان 18 طبقه در نظر گرفته شدهاند. کلیه تحلیلها در نرم‌افزار SAP 2000 V14 انجام شده است. برای طراحی سازه و محاسبه تغییر شکلها، ضریب ترکخوردگی برای تیر، ستون و دیوار به ترتیب برابر5/0، 1و 35/0 در نظر گرفته شده است. برای انجام تحلیلهای غیر خطی ضریب ترکخوردگی به هیچ یک از المانهای سازهای اعمال نشده است. برای ایجاد ساختمانهای نا متقارن در پلان با انتقال مرکز جرم ساختمان به اندازه 10% بعد ساختمان (5/1متر) در امتداد محور X، خروج از مرکزیت جرم حول محور Y ایجاد میگردد( شکل1). حال با تغییر نسبت بین جرم کف و ممان اینرسی جرمی آن (حول محور عمود برمرکز جرم) ، سه سیستم مختلف نامتقارن در پلان با درجه درگیری متفاوت بین حرکات انتقالی و پیچشی، ایجاد می شود ویژگیهای سیستمهای نامتقارن درپلان با خروج از مرکزیت جرم ، پریود سه مود ارتعاشی اول ; i=1,2,3) (Tiو نسبت ممان اینرسی جرمی به جرم لرزهای در ساختمانهای نامتقارن به ساختمان متقارن مرجع در جدول2 ارائه شده است.
5- مدل‌سازی غیرخطی ساختمان بتن مسلح دارای دیوار برشی
پس از تحلیل و طراحی ساختمانها و تعیین مشخصات مقاطع مورد نیاز، مدل غیرخطی آنها با توجه به رفتار اعضای آن در
(a) پلان شکل1- پلان ساختمانهای تحلیل شده:ساختمان متقارن اصلی؛ (b) پلان ساختمانهای نامتقارن نسبت به یک محور
جدول1- مشخصات مصالح بتنی C25
|
مشخصه |
مقدار |
مشخصه |
مقدار |
|
جرم واحد حجم،M |
25/0 |
مقاومت فشاری بتن، |
250 |
|
وزن واحد حجم،W |
5/2 |
تنش تسلیم میلگرد طولی، |
3000 |
|
ضریب الاستیسیته،E |
250000 |
تنش تسلیم خاموت، |
3000 |
جدول 2- جزئیات ساختمانهای مورد تحلیل
|
نوع سازه |
ارتفاع کل ساختمان |
تعداد طبقات |
||||
|
28/0 |
76/0 |
87/1 |
- |
Symmetric |
6/57 |
18 طبقه |
|
36/0 |
65/0 |
98/1 |
1/1 |
TS |
||
|
61/0 |
93/1 |
09/2 |
75/2 |
TSS |
||
|
34/0 |
63/0 |
94/1 |
8/5 |
TF |
نرم‌افزار SAP2000 V14 ایجاد گردید. اعضایی که دارای رفتار کنترل شونده نیرویی میباشند، می‌بایست الاستیک باقی بمانند، ولی منحنی رفتاری اعضای کنترل شونده تغییر شکلی در محدوده غیرخطی برای نرم‌افزار تعریف میشود. این منحنی رفتاری برای اعضای مختلف سازه از جداول FEMA-356 [3] به‌دست میآید.
5-1- مدل‌سازی غیر خطی تیرها
جهت تعریف پارامترهای مدل‌سازی و معیارهای پذیرش در تیرها باید مشخص گردد که تیرها کنترل شونده توسط خمش هستند و یا کنترل شونده توسط برش. محاسبات نشان میدهد که برای تیرهای قاب خمشی با دهانههای 4 یا 5 متری ظرفیت برشی آنها به مراتب بیش از ظرفیت خمشی آنها است؛ بنابراین کنترل شونده توسط خمش میباشند. در نتیجه می توان از دو مفصل خمشی M3 در ابتدا و انتهای تیر استفاده کرد.
5-2 - مدل‌سازی غیر خطی ستونها
در شکست ستونها می توان به شکست خمشی، شکست برشی، ستون‌هایی که توسط طول مهاری کنترل میشوند و ستون‌هایی که توسط طول وصله کنترل میشوند، اشاره نمود. ساختمانهای مورد بررسی در این پژوهش که بر اساس رعایت ضوابط آئین نامه ACI طراحی شده است، خرابی حالت سوم و چهارم موردی ندارد. همچنین با توجه به ارتفاع خالص ستونها (که حدوداً 3 متر میباشد) و نیز عدم وارد شدن نیروی جانبی در ارتفاع ستون، خرابی خمشی بر خرابی برشی مقدم است. به این ترتیب برای ستونها پارامترهای مدل‌سازی برای رفتار خمشی در دو انتهای ستون که بیشترین مقدار لنگر خمشی وارد میشود، بهصورت بهصورت مفصل اندرکنشی نیروی محوری-لنگر خمشی( P-M-M ) تعریف می گردد.
5-3- مدل‌سازی غیر خطی دیوار برشی
دیوارهای سازهای در سازههای بتن‌آرمه در صورت طراحی مناسب می‌توانند نقش قابل‌توجهی در رفتار شکل‌پذیر سازه و در نتیجه استهلاک انرژی ناشی از زلزله داشته باشند که وجود دیوارهای برشی، موجب کاهش ابعاد تیرها و ستونهای سازه میگردد. از مزایای دیگر دیوارهای برشی حفظ پایداری سازه در برابر بارهای قائم پس از تشکیل لولای خمیری در تیرها و ستونهای سازه است. دیوارها بسته به نسبت ارتفاع به طول و نحوۀ به‌کارگیری در سازه، رفتار و مکانیزمهای گسیختگی مختلفی از خود بروز می‌دهند که درک درست آنها نقش مهمی در تعیین نیروهای طراحی اجزاء قاب خواهد داشت. این اجزاء می‌توانند کنسولی شامل دیوارهای بلند و کوتاه باشند و یا به همراه تیرهای همبند به‌کار روند. در این تحقیق، از دو مدل برای بیان رفتار غیرخطی دیوارهای برشی بهره جوئی شده است که در ادامه شرح داده میشوند.
5-3-1 - المان ستون معادل با مفصل فایبر
آئین نامه FEMA-356 اظهار می‌دارد که دیوارهای برشی لاغر و قطعات دیوار را میتوان به صورت المان تیر-ستون(قاب معادل)، با در نظر گرفتن تغییر شکلهای خمشی و برشی مدل‌سازی نمود. در محاسبه مقاومت خمشی المانهای تیر- ستون باید اندر کنش بین نیروی محوری و خمشی در نظر گرفته شود. طول قطعه صلب بین گره تیر متصل به دیوار تا المان تیر - ستون معادل، برابر فاصله مرکز سطح دیوار تا لبه دیوار میباشد. با توجه به اینکه در مدلهای مورد مطالعه نسبت ارتفاع به طول دیوار در ساختمان 18 طبقه برابر 52/11 میباشد، این دیوار لاغر شناخته میشود. از آنجایی که دیوارهای برشی لاغر توسط خمش کنترل میشوند]3[ میتوان جهت مدل‌سازی آن از المان (Frame) در نرم‌افزار استفاده کرد. در نرم‌افزارSAP2000 قابلیت اختصاص مفصل خمشی از نوع فایبر به المانFrame موجود میباشد. مقطع فایبر از آن جهت حائز اهمیت میباشد که رفتار غیرخطی برای قسمت‌های مختلف دیوار را میتوان بطور جداگانه منظور نمود که این به دلیل طول زیاد دیوار و نیز گسترش مفصل پلاستیک در ارتفاع زیادی از دیوار بسیار مهم و حائز اهمیت میباشد. علاوه بر آن در تعریف مفصل فایبر امکان تعیین طول مفصل پلاستیک فراهم میباشد که پس از محاسبه این طول، مقدار آن به دیوارها اختصاص می‌یابد. آیین‌نامة FEMA-356 طول مفصل فایبر را برابر نصف عمق دیوار یا ارتفاع طبقه هر کدام که کمتر باشد ( ) درنظر میگیرد. در خصوص تعیین تعداد المانهای فایبر در طول دیوار عدد دقیقی به عنوان عدد بهینه مشخص نشده است. در این پژوهش تمام آرماتورهای طولی مقطع بهصورت المان فایبر فلزی در نظر گرفته شده و مقطع بتنی دیوار با تقسیم بندی به 9 قسمت و قرار دادن یک المان فایبر بتنی با همان مساحت در مرکز سطح آن قطعه در نظر گرفته میشود. بتن پوشش بهصورت محصور نشده مدل‌سازی شده است (شکل-2).
شکل2- المانهای فایبر فلزی و بتنی
در این مقاله از المان ستون معادل به جای دیوار برشی استفاده شده است. بدین صورت که ابتدا دیوار برشی به همراه المانهای مرزی از مدل اصلی برداشته شده، سپس یک ستون با همان مقطع دیوار برشی با المانهای مرزی (بهصورت دمبلی شکل) در مرکز سطح آن قرار داده می شود (شکل-2). سپس با اسفاده از تیرهای صلب در دو طرف (که ممان اینرسی آن حول محور قوی و مساحت برشی در راستای محور ضعیف با ضریبی افزایش داده شده است)، این ستون معادل به تیرهای اطراف متصل میگردد.
برای منحنی تنش-کرنش غیرخطی بتن، از منحنی رفتاری "Mander" استفاده شده است (شکل-3) ]18[. ویژگی مشخصه این منحنی آن است که کرنش پسماند منحنی در انتهای بارگذاری به صفر میرسد و مشکلات ناشی از عدم همگرایی آنالیزهای غیرخطی به حداقل کاهش می‌یابد. همچنین برای منحنی هیسترتیک بتن از مدل (Takeda) استفاده شده است (شکل-4) که برای بتن و دیگر مواد ترد مناسب میباشد. این مدل بر مبنای مشاهدات آزمایشگاهی به‌دست آمده است و شامل تغییرات سختی در ترکخوردگی خمشی، نقطه تسلیم و سخت شوندگی کرنشی می باشد. تفاوت عمده آن با دیگر مدلها در این است که چرخههای داخلی در داخل چرخه بیرونی قرار می‌گیرند.در این مدل رفتار یکنواخت توسط یک منحنی سه خطی بیان می شود که در آن ترکخوردگی بتن و تسلیم آرماتورها نشان داده شده است. برای منحنی تنش-کرنش غیرخطی فولاد از منحنی رفتاری "Park" استفاده شده است که مشخصه اصلی آن در نظرگیری رفتار سخت شونده فولاد پس از تسلیم اولیه میباشد (شکل-5). همچنین برای منحنی هیسترزیس فولاد از منحنی نوع Kinematic استفاده شده است که ویژگی اصلی آن، این است که شکل منحنی در بارگذاری‌های سیکلی ثابت می‌ماند و تنها منحنی، روی محور افقی (محور نیرو) با فرم ثابت، جابه جا میگردد (شکل-6).
5-3-2- المان ستون معادل با مفصل FEMA (PMM)
با توجه به اینکه دیوار برشی علاوه بر لنگر خمشی میتواند بار محوری زیادی را تحمل کند و با عنایت به اینکه در این پزوهش دیوار برشی با ستون معادل جایگزین شده است، رفتار غیر خطی آن مانند ستونها بهصورت مفصل اندرکنشی نیروی محوری-لنگر خمشی (PMM)مطابق جدول 8-6 در FEMA-356 ]3[ تعریف میشود.
شکل3- منحنی تنش-کرنش بتن محصور شده و بتن محصور نشده]18[
شکل4- منحنی هیسترزیس بتن (Takeda)]19[
شکل5- منحنی تنش کرنش فولاد(Park)]20[
شکل6- منحنی هیسترزیس فولاد(Kinematic)]21[
7- توصیف تحلیلها
در این پژوهش برای انجام تحلیلهای دینامیکی غیرخطی از 7 رکورد زلزله حوزه دور با مشخصات جدول 3 استفاده شده است. طیفهای شبه شتاب و جابجایی رکوردهای زلزله در شکل 7 نشان داده شدهاند. برای اطمینان از وارد شدن همه مدلها به مرحله غیر خطی، حداکثر شتاب رکوردهای زلزله (PGA) به g7/0 مقیاس شده است. روش انتگرال گیری عددی استفاده شده در تحلیلهای تاریخچه زمانی غیرخطی، روش Newmark با شتاب خطی , میباشد. برای تشکیل ماتریس میرایی رایلی از نسبت میرایی 5% برای مودهای 1 و 3 در جهت Y استفاده شده است. آنالیزهای چند مرحلهای مورد استفاده در روش CMP با توجه به درصد مشارکت مود اصلی ساختمانها شامل تحلیلهای یک ، دو و سه مرحلهای برای ساختمانهای 18 طبقه میباشند، به جز سیستم TSS که از آنالیز چهار مرحلهای علاوه بر آنالیزهای یاد شده استفاده شده است. در روش MPA برای برآورد نیازهای لرزهای در ساختمانهای نامنظم 18 طبقه از سه جفت مود بهره جوئی میگردد. برای به دست آوردن نتایج نهایی در این روش از قاعده ترکیب (رابطة (1)) ]8[ استفاده میشود.
|
(1) |
|
همچنین در روش EN2 پس از انجام تحلیل بارافزون پایهی سه بعدی با استفاده از الگوی مود غالب و انجام نحلیل طیفی با درنظرگیری همه مودهای ارتعاشی، ضریب تصحیح برای در نظرگیری اثر مودهای ارتعاشی بالاتر در ارتفاع و در پلان (بترتیب CE و CT) به طور جداگانه محاسبه شده و در نتایج تحلیل بارافزون پایه اعمال میشوند.
8- بحث روی نتایج تحلیلها
همان‌طور که اشاره شد هدف از این پژوهش، مطالعه و ارزیابی لرزهای ساختمانهای بتن مسلح بلند نامتقارن در پلان با دیوار برشی با در نظرگیری اثرات پیچشی و مودهای ارتعاشی بالاتر،
تحت اثر زلزله میباشد. در این تحقیق برای مدل‌سازی رفتار غیرخطی دیوار برشی از مدل مفصل اندر کنشی (P-M-M) و المان فایبر استفاده شده است. در ضمن استفاده از روشهای تقریبی برای تعیین تغییر مکان هدف سیستمهای یاد شده در تحلیلهای بارافزون ممکن است باعث بروز خطا در نتایج شود. با توجه به اینکه فقط خطای ناشی از نحوۀ توزیع نیروهای جانبی در تحلیلهای بارافزون مورد بررسی قرار گیرد، به همین دلیل در این مقاله از مقادیر دقیق تغییر مکان هدف که از میانگین مقادیر حداکثر جابجایی بام (در مرکز جرم) ناشی از آنالیز NL-RHA به‌دست می‌آیند، استفاده میشود]5[. مقادیر تغییر مکان هدف برای سیستمهای مختلف با در نظرگیری دو رفتار غیرخطی متفاوت برای دیوار برشی در جدول 4 ارائه شده است. نتایج نشان می دهد که استفاده از مدل غیرخطی المان فایبر سازه را شکلپذیرتر کرده و جابجایی های هدف بیشتری را نسبت به مدل مفصل اندرکنشی ارائه می دهد.
شکل7- (a) طیف شبه شتاب؛ (b) طیف جابجایی حرکات زمین مربوط به رکوردهای حوزه دور با نسبت میرایی 5%. طیف میانگین با خط ضخیمتر نشان داده شده است.
جدول3- رکوردهای زلزله مورد استفاده
|
نوع زمین |
PGV |
PGA(g) |
فاصله از گسل (km) |
بزرگا |
ایستگاه ثبت شتاب نگاشت |
تاریخ |
نام اختصاری |
|
|
C |
0.07 |
56.4 |
0.728 |
17.6 |
7.1 |
Bolu |
1999/11/12 |
Duzce |
|
C |
0.06 |
14.6 |
0.247 |
28.3 |
6.7 |
Calipatria Fire Station |
1987/11/24 |
Superstitn |
|
C |
0.052 |
16.6 |
0.323 |
24.2 |
6.9 |
Gilory Array |
1989/10/18 |
Loma Prita |
|
C |
0.064 |
19.1 |
0.301 |
17.6 |
5.4 |
Sanroman |
1980/01/27 |
Livermore |
|
C |
0.083 |
27.1 |
0.332 |
16.9 |
6 |
Compton |
1987/10/01 |
Whittier |
|
C |
0.087 |
19.1 |
0.223 |
47.6 |
6.7 |
Point Mugu |
1994/01/17 |
Northridge |
|
C |
0.05 |
8.3 |
0.167 |
54.1 |
5.2 |
Hollister City Hall |
1979/10/15 |
Imperial Valley |
جدول4- مقادیر تغییر مکان هدف به دست آمده برای انواع سیستمهای ساختمانی.
|
تغییر مکان هدف (cm) |
سیستم ساختمانی |
تعداد طبقات |
|
|
المان فایبر |
مفصل اندر کنشی (PMM) |
||
|
8/17 |
9/16 |
متقارن |
18 طبقه |
|
76/18 |
16 |
سخت از نظر پیچش (TS) |
|
|
55/18 |
7/15 |
شبه سخت از نظر پیچش (TSS) |
|
|
6/18 |
6/14 |
نرم از نظر پیچش (TF) |
|
|
Fiber |
||
|
Hinge |
شکل 8- نسبت جابجایی کفها به ارتفاع سازه، حاصل از آنالیزهای بار افزون MPA، CMP، EN2، Mode1 و تحلیل NL-RHA در لبههای نرم و سخت ساختمان نامتقارن در پلان از نوع TS.
|
Fiber |
||
|
Hinge |
شکل9- نسبت جابجایی کفها به ارتفاع سازه، حاصل از آنالیزهای بار افزون MPA، CMP، EN2، Mode1و تحلیل NL-RHA در لبههای نرم و سخت ساختمان نامتقارن در پلان از نوع TSS.
|
Fiber |
|
|
Hinge |
شکل10- نسبت جابجایی کفها به ارتفاع سازه، حاصل از آنالیزهای بار افزون MPA، CMP، EN2، Mode1 و تحلیل NL-RHA در لبههای نرم و سخت ساختمان نامتقارن در پلان از نوع TF.
با توجه به اشکال 8 - 10 و با عنایت به استفاده از المان فایبر و مفصل متمرکز اندرکنشی (P-M-M) برای دیوار برشی میتوان نتیجه گرفت که در سیستم TS، همه آنالیزهای بار افزون ارتقاء یافته در هر دو لبه نرم و سخت دارای دقت مناسبی میباشند. در این سیستم در لبه سخت جابجایی کفها مقداری دست پایین و در لبه نرم جابجایی کفها مقداری دست بالا برآورد شدهاند. همچنین تحلیلهای بارافزون ارتقاء یافته MPA و CMP در لبه سخت این سیستم در طبقات بالا در مدل مفصل فایبر جوابهای بهنسبت بهتری در مفایسه با مدل مفصل متمرکز (PMM) ارائه می‌دهند. در لبه سخت سیستم TSS، روشهای CMP و EN2 جابجایی کفها را اندکی دست بالا و روش MPA جوابها را قدری دست پایین برآورد میکند. در لبه نرم سیستم TSS جابجاییهای حاصل از همه روشهای بارافزون با استفاده از مدل مفصل فایبر قدری دست پایین می باشند. نتایج تحلیل بارافزون با الگوی مود اول در سیستم TSS در لبه سخت به شدت دست پایین هستند. در سیستم TF نیز تمام روشهای بارافزون ارتقاء یافته از دقت مناسبی برخوردارند، به جزء اینکه تحلیل مود اول در هر دو لبه نرم و سخت و برای هر دو مدل غیر خطی دیوار برشی پاسخها را قدری دست پایین برآورد میکند. شایان ذکر است که پاسخ تغییرمکان طبقات در سیستمهای مختلف در این دو مدل رفتاری تفاوت زیادی با یکدیگر ندارند. همچنین با توجه به نحوة تغییرمکان کفها میتوان گفت که در ساختمان 18 طبقه، رفتار دیوار برشی در طبقات پایین بر رفتار قاب خمشی غالب شده، ولی در طبقات بالا رفتار قاب بر رفتار کلی سیستم حاکم میگردد.
با توجه به شکلهای 11 الی 13 میتوان نتیجه گرفت که در سیستم TS در ساختمان 18 طبقه، تحلیلهای بار افزون ارتقاء یافته در هر دو لبه مقادیر قابل قبولی را برای جابجایی نسبی طبقات در طبقات فوقانی با مدل المان فایبر نسبت به مدل مفصل متمرکز ارائه میکنند که دقت روش CMP از سایر روشها بیشتر می باشد. به عنوان نمونه مقدار خطا در لبه سخت در مدل المان فایبر در روش MPA و CMP به ترتیب برابر21/9% و 78/3% می باشد که درصد خطا در مدل مفصل متمرکز به 7/18% و 13/9% افزایش پیدا کرده است. همچنین تحلیلهای بارافزون ارتقاء یافته در لبه نرم این سیستم دارای دقت بهتری در برآورد پاسخها نسبت به لبه سخت برای هر دو مدل رفتاری می باشند. همچنین جابجاییهای نسبی طبقه، حاصل از تحلیل بارافزون با استفاده از مود اول دارای خطای بیشتری در تمام طبقات نسبت به سایر روشهای پوشآور ارتقاء یافته می باشند.
|
Fiber |
||
|
Hinge |
شکل11- نسبت جابجایی نسبی طبقات به ارتفاع طبقه، حاصل از آنالیزهای بار افزون MPA، CMP، EN2، Mode1 و تحلیل NL-RHAدر لبههای نرم و سخت ساختمان نامتقارن در پلان از نوع TS.
|
Fiber |
||
|
Hinge
|
شکل12- نسبت جابجایی نسبی طبقات به ارتفاع طبقه، حاصل از آنالیزهای بار افزون MPA، CMP، EN2، Mode1و تحلیل NL-RHA در لبههای نرم و سخت ساختمان نامتقارن در پلان از نوع TSS.
|
Fiber |
|
|
Hinge |
شکل13- نسبت جابجایی نسبی طبقات به ارتفاع طبقه، حاصل از آنالیزهای بار افزون MPA، CMP، EN2، Mode1 و تحلیل NL-RHA در لبههای نرم و سخت ساختمان نامتقارن در پلان از نوع .TF
در ساختمان 18 طبقه با سیستم TSS تحلیل بار افزون EN2 به واسطه اعمال ضرایب تصحیح جابجایی نسبی طبقات را در لبه نرم دست بالا برآورد میکند، بهطوریکه مقدار خطای جابجایی نسبی طبقات به (9/24%) می رسد. تحلیل پوشآور با استفاده از الگوی مود اول پاسخها را درهردو لبه، بهویژه در لبه سخت بسیار دست پایین برآورد میکند بهطوریکه خطای روش با استفاده از المان فایبر و مفصل متمرکز به ترتیب به (32/86%) و (43/88%) میرسد. در لبه سخت ساختمان 18 طبقه برآوردهای حاصل از دو روش MPA و CMP با استفاده از المان فایبر نسبتاٌ دست بالا هستند که مقدار خطای روش CMP و MPA برابر(85/8%) و (87/21%) می باشد. در لبه نرم سیستم TSS روشهای CMP و MPA درصورت استفاده از مدل غیرخطی المان فایبر دارای دقت خوبی در محاسبه جابجائی نسبی طبقات میباشند. در سیستم TF نیز همانند سیستم TS در ساختمان 18 طبقه، تحلیلهای بار افزون CMP و MPA در هر دو لبه نرم و سخت پاسخها را برای المان فایبر و مفصل اندرکنشی اندکی دست پایین برآورد میکنند که پاسخهای حاصل از روش CMP در لبه سخت در مقایسه با سایر روشها دقیقتر است. مقدار خطای روش CMP در لبه نرم و سخت این ساختمان در مدل المان فایبر به ترتیب برابر با 31/19% و 68/4% است که این مقدار خطا در روش MPA به 9/6% در لبه نرم و 7/14% در لبه سخت میرسد. همچنین در این ساختمان مقدار خطای روش CMP با استفاده از مدل مفصل متمرکز در لبه سخت بیشتر و در لبه نرم کمتر میباشد که این روند برای سایر روشهای بارافزون نیز قابل مشاهده است. در سیستم TF جایجائی نسبی طبقه، حاصل از روشهای پوشآور ارتقاء یافته با درنظرگیری رفتار غیر خطی با المان فایبر و مفصل متمرکز در هر دو لبه قدری دست پایین میباشند که در میان روشها، روشMPA در لبه نرم و روش CMP در لبه سخت برآورد بهتری را نسبت به سایر روشها در ساختمان 18 طبقه ارائه میکنند.
با توجه به اشکال 14 تا 16 میتوان نتیجه گرفت که روش CMP نسبت به سایر روشهای بار افزون ارتقاء یافته و موداول، دارای دقت بیشتری در برآورد دورانهای مفاصل پلاستیک در لبههای نرم و سخت با بکارگیری المان فابیر و مفصل متمرکز میباشد. این روش در سیستم TS دورانهای پلاستیک را با درنظرگیری المان فایبر در طبقات فوقانی لبه سخت اندکی دست بالا برآورد میکند که مقدار خطای روش CMP در لبه نرم و سخت این سیستم، به ترتیب برابر است با 33/14% و 62/13% میباشد. همچنین مقدار خطای روش MPA در طبقات فوقانی
|
Fiber |
|
|
Hinge |
شکل14- دوران پلاستیک مفاصل، حاصل از آنالیزهای بار افزون MPA، CMP، EN2، Mode1 و تحلیل NL-RHA در کناره‌های راست و چپ ساختمان نامتقارن در پلان از نوع TS.
|
Fiber |
||
|
Hinge |
شکل15- دوران پلاستیک مفاصل، حاصل از آنالیزهای بار افزون MPA، CMP، EN2، Mode1 و تحلیل NL-RHA در کناره‌های راست و چپ ساختمان نامتقارن در پلان از نوع TSS.
|
Fiber |
||
|
Hinge |
شکل16- دوران پلاستیک مفاصل، حاصل از آنالیزهای بار افزون MPA، CMP، EN2، Mode1 و تحلیل NL-RHA در کناره‌های راست و چپ ساختمان نامتقارن در پلان از نوع TF.
لبه نرم و سخت در سیستم TS با استفاده از مدل المان فایبر برابر با 6/37% و 45/17% میباشد که در مدل مفصل اندرکنشی به 37% و 54/31% میرسد. در سیستم TSS، روش EN2 در لبه سخت برای هر دو مدل غیرخطی با المان فایبر و مفصل اندرکنشی دارای دقت بسیار کم میباشد. این بدان دلیل است که جابجاییهای حاصل از تحلیل پوشآور با الگوی مود اول، در لبه سخت بسیار کم میباشد. از اینرو، دورانهای پلاستیک مفاصل در بیشتر طبقات صفرشده و با اعمال ضریب تصحیح پیچشی در پلان و ضریب تصحیح در ارتفاع هیچ تغییری در پاسخها ایجاد نمی‌شود. در سیستم TF نیز همانند سیستم TS، تحلیل CMP برآورد بهتری در هر دو لبه نرم و سخت نسبت به سایر روشهای بارافزون ارتقاء یافته ارائه میدهد. در مدل مفصل اندر کنشی این برآوردها قدری دست پایین میباشند. در طبقات بالای سیستم TF، تحلیل بار افزون EN2 با مدل المان فایبر در لبه نرم برآورد بهتری نسبت به لبه سخت دارد که مقدار خطا در لبه نرم و سخت به ترتیب برابر 06/15% و 7/29% میباشد. شایان ذکر است که نحوه تسلیم شدن اعضاء سازهای در ساختمان 18 طبقه بدین صورت است که ابتدا تیرها شروع به تسلیم شدن می کنند. سپس تسلیم شدن تیرها در طبقات فوقانی گسترش یافته و بعد از آن دیوار برشی (المان ستون معادل) در پای ساختمان تسلیم میشود و در انتها برخی از ستونهای طبقه اول سازه تسلیم می شود.
9- نتیجه‌گیری
در این پژوهش، پاسخهای لرزهای ساختمانهای نامنظم دارای سیستم دوگانه قاب-دیوار با درنظرگیری دو مدل رفتار غیرخطی متفاوت برای دیوار برشی به صورت المان فایبر و مفصل اندرکنشی بهطور جداگانه مورد بررسی قرار گرفت. در ساختمانهای با خروج از مرکزیت جرم، با تغییر نسبت بین جرم کف طبقات و ممان اینرسی جرمی آنها حول محور عمود بر کف در مرکز جرم، سه سیستم نامتقارن در پلان شامل سیستمهای سخت از نظر پیچش، شبه سخت از نظر پیچش و نرم از نظر پیچش ایجاد شدند. تحلیلهای تاریخچه زمانی غیرخطی (NL-RHA) و تحلیلهای بارافزون ارتقاء یافته شامل روش آنالیز پوشآور مودی (MPA)، روش تحلیل پوشآور مودی متوالی (CMP) و روش N2 توسعه یافته (EN2) با درنظرگیری تأثیر نوع رفتار غیرخطی دیوار برشی در این سه سیستم به طور جداگانه مورد بررسی قرار گرفتند که نتایج زیر حاصل شدند:
1) استفاده ازمدل غیرخطی المان فایبر به زمان تحلیل و فضای حافظه خیلی بیشتری نسبت به مدل غیرخطی مفصل اندرکنشی تا 3 برابر نیاز دارد. 2) استفاده از مدل غیرخطی فایبر، سازه را شکلپذیرتر کرده و تغییر مکان‌های هدف بیشتری را نسبت به مدل مفصل اندرکنشی میدهد. 3) تفاوت در مدل‌سازی رفتار غیرخطی دیوار برشی تأثیر چندانی بر روی نیاز لرزهای جابجایی کفها، از خود نشان نمی‌دهد، اما اثر نسبتاٌ فابل توجهی بر روی جابجایی نسبی طبقات و دورانهای پلاستیک مفاصل دارد. 4) نحوه تسلیم شدن اعضاء سازهای در ساختمان 18 طبقه با سیستم دوگانه قاب-دیوار بدین صورت است که ابتدا تیرها شروع به تسلیم شدن میکنند. سپس تسلیم شدن تیرها در طبقات فوقانی گسترش یافته و بعد از آن دیوار برشی (المان ستون معادل) در پای ساختمان تسلیم میشود و در انتها برخی از ستونهای طبقه اول سازه تسلیم میگردد. 5) روش های CMP، MPA و EN2 معمولا پاسخهای با دقت مناسب را برای جابجائی نسبی طبقات با درنظرگیری دو مدل رفتار غیرخطی برای دیوار برشی ارائه میکنند. 6) روش CMP در تمام سازههای نامنظم 18 طبقه با سیستم دوگانه قاب-دیوار در مقایسه با روش MPA و EN2 نتایج بهتری را در برآورد دوران مفاصل پلاستیک ارائه میدهد . 7) در ساختمانهای دوگانه قاب-دیوار با سیستم نامنظم TSS، روش EN2 در لبه سخت برای هر دو مدل غیرخطی با المان فایبر و مفصل اندرکنشی دارای دقت بسیار کم میباشد. چون جابجاییهای حاصل از تحلیل پوشآور با الگوی مود اول، در لبه سخت صفر میباشد و با اعمال ضریب تصحیح پیچشی در پلان و ضریب تصحیح در ارتفاع تغییری در پاسخها ایجاد نمی‌شود.
10- مراجع
[1]. Ghobarah, A. “Performance-based design in earthquake engineering: state of development.” Engineering structures, 23, 8 (2001): pp. 878-884.
[2] . ATC. “40, Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings.”Applied Technology Council, Report ATC-40. Redwood City (1996).
[3]. Federal Emergency Management Agency. “Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings: FEMA-356.” (2000).
[4]. Chopra, Anil, K., Rakesh, Goel, K.. “A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings” Earthquake Engineering & Structural Dynamic,Vol. 31, No.3 (2002): pp. 561-582.
[5]. Poursha, Mehdi, Khoshnoudian Faramarz, and A. S. Moghadam. "A consecutive modal pushover procedure for estimating the seismic demands of tall buildings" Engineering Structures, Vol. 31, No. 2 (2009): pp. 591-599.
[6]. Jan, Tysh Shang, Ming Wei Liu, and Ying Chieh Kao, "An upper-bound pushover analysis procedure for estimating the seismic demands of high-rise buildings" Engineering Structures, Vol.26, No.1 (2004): pp.117-128.
[7]. Kreslin, Maja, and Peter Fajfar, "The extended N2 method taking into account higher mode effects in elevation" Earthquake Engineering & Structural Dynamics 40.14 (2011): 1571-1589.
[8]. Chopra A. K. and Goel R. K. “A modal pushover analysis procedure to estimate seismic demands for unsymmetric-plan buildings” Earthquake Engineering & Structural Dynamics, Vol. 33, No. 8, pp. 903–927, Jul. 2004.
[9]. Poursha, M., Khoshnoudian, F. and A. S. Moghadam, “A consecutive modal pushover procedure for nonlinear static analysis of one-way unsymmetric-plan tall building structures”, Engineering Structures, Vol. 33, No. 9, pp. 2417–2434, Sep. 2011.
[10]. Kreslin, Maja, and Fajfar, Peter. "The extended N2 method considering higher mode effects in both plan and elevation" Bulletin of Earthquake Engineering, 10.2 (2012): 695-715.
[11]. Lin, Jui-Liang, and Keh-Chyuan Tsai. "Simplified seismic analysis of asymmetric building systems" Earthquake Engineering & structural dynamics, 36.4 (2007): 459-479.
[12]. Inel, M., Ozmen, H. B., “Effects of plastic hinge properties in nonlinear analysis of reinforced concrete buildings”, Engineering Structures, Vol. 28, No. 11, pp. 1494–1502, 2006.
[13]. Yön, B., Calayır, Y., “Pushover Analysis of a Reinforced Concrete Building According to Various Hinge Models”, 2nd International Balkans Conference on Challenges of Civil Engineering, BCCCE, 23-25 May 2013, Epoka University, Tirana, Albania.
[14]. کفایی مهدی، ”الگوی بارگذاری جانبی در ساختمانهای بتنی با دیوار برشی در آنالیز استاتیکی غیر خطی “ پایان نامه کارشناسی ارشد، به راهنمائی دکتر فرامرز خوشنودیان، دانشگاه صنعتی امیر کبیر، بهار88.
[15]. مقررات ملی ساختمان مبحث ششم، ”بارهای وارد بر ساختمان-1385 “.
[16]. مرکز تحقیقات ساختمان و مسکن، ” آییننامه طراحی ساختمانها در برابر زلزله، استاندارد 2800، ویرایش سوم، سال 1384“.
[17]. American Concrete Institution (ACI 318-1999)
[18]. Mander, J.B., M.J.N., Priestley, Park, R. 1988. “Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete”, Journal of Structural Engineering, ASCE. 114(3), 1804-1826.
[19]. Takeda, Toshikazu, Mete Avni, Sozen, N. Norby, Nielsen. “Reinforced concrete response to simulated earthquakes.” Journal of the Structural Division, 96.12 (1970): 2557-2573.
[20]. SAP2000, Technical Note Material Stress-Strain Curves.
[21]. Malvern, Lawrence, E. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, (1969) Prentice-Hall.
)